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Ficha para la modalidad 1 a 1: Inducción, recorriendo todo en dos pasos

Fecha: 08/06/2010

Ficha de trabajo

Título: Inducción, recorriendo todo en dos pasos (adaptado)

Área: Matemática

Nivel: Ciclo superior escuelas técnicas

Te proponemos que utilices junto a tus alumnos el principio de inducción para comprobar que todos los números naturales tienen cierta propiedad.


Imagen: Moira Saldaño

Objetivos

  • Investigar y trabajar sobre el concepto de inducción.
  • Brindar información a través de tecnologías audiovisuales e Internet, referida a este tema.
  • Promover el uso de las TIC en el aula, fomentando la generación de proyectos educativos que incluyan el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
  • Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza – aprendizaje.
  • Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
  • Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Como hay infinitos números naturales, no se puede comprobar caso por caso que se cumple dicha propiedad. El principio de inducción es una herramienta muy útil para resolver este tipo de problemas.

En el programa del canal Encuentro Alterados por Pi, Adrián Paenza explica como funciona esta poderosa herramienta.

Ver capítulo completo

Ilustremos con un ejemplo: supongamos que quisiéramos ver que todo número natural n es menor que 2n. Enunciemos entonces la siguiente propiedad:

“n tiene la propiedad si  n 2n

Es claro que 1 tiene la propiedad  P  ya que 1 2n= 2

Ahora, si probamos que cada vez que un número n tiene la propiedad  P , entonces ¬el siguiente, n+1, también la tiene, habremos probado entonces que, como 1 tiene la propiedad  P  entonces 2 la tiene y entonces 3 también y así siguiendo que todos los números naturales la tienen.

El principio de inducción dice que para probar que una propiedad se satisface para todos los números naturales basta con probar los siguientes dos enunciados.

  • Enunciado 1: El número uno posee la propiedad.
  • Enunciado 2: Si un número posee la propiedad, el siguiente número también la posee. Es decir, si n tiene la propiedad , entonces n + 1 también.

Así, siguiendo con el ejemplo anterior, ya vimos que 1 tiene la propiedad . Supongamos ahora, a esto se le llama hipótesis inductiva, que n tiene la propiedad y con ello probemos que n+1 también la tiene, en efecto, como n 2n, entonces n+1 2n +1 2n +2n = 2n+1 y por lo tanto n+1 también tiene la propiedad . Así completamos la prueba de que n 2n para todo número natural n

Proponemos aquí algunas actividades para aprender a usar el principio de inducción y para entender qué tipo de cosas podemos probar con él.

Actividad 1:

En esta actividad vamos a demostrar algunas desigualdades usando el principio de inducción.

Estrategias de trabajo

El docente explica a los alumnos cómo se utiliza el principio de inducción y les propone que resuelvan las consignas dadas en forma individual.

Recursos de trabajo

Procesador de texto, aplicación para graficación matemática

Consignas para los alumnos

Demostrá la validez de las siguientes desigualdades  usando el principio de inducción

  1. Para todo número natural n vale que n es menor o igual que su cuadrado.
  2. Todo número natural n es menor que 2n.
  3. Para todo número natural n se tiene que la suma  Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2n es menor que  2 – 1/2n+1. Deducir que Sn es menor que 2 independientemente de la cantidad de sumandos.

Cierre

Debatir las diferentes naturalezas de los ejercicios 1, 2 y 3 intentando que se note que con el tercero, a diferencia de con los otros, se acotan todos los términos de la secuencia de sumas dadas por el mismo número, eso puede desafiar nuestra intuición.

Intentar dar alguna explicación independiente de ese hecho del estilo de la siguiente: dos personas se encuentran a dos metros de distancia, una comienza a acercase a la otra de la siguiente manera, primero da un paso de un metro, luego un paso de medio metro, después de un cuarto de metro y, así siguiendo, en cada paso se acerca la mitad de lo que se había acercado en el paso anterior ¿llega así la persona a alcanzar a la otra en algún momento? ¿Por qué no?

Actividad 2:

En esta actividad vamos a probar la validez de algunas fórmulas y resultados usando el principio de inducción.

Estrategias de trabajo

El docente explica a los alumnos cómo se utiliza el principio de inducción y les propone que resuelvan las consignas dadas en grupos de manera de dividir el curso en siete grupos.

Recursos de trabajo

Procesador de texto-aplicación para graficación matemática

Consignas para los alumnos

1-  Probá que, para todo número natural n vale que: 1 + 2 + 3 + 4 +… ….+ n =1/2. n(n + 1).

I)   Contando de dos maneras la cantidad de cuadraditos sombreados del diagrama.

II) Sumando dos veces todos los términos y apareándolos el primero con el último, el segundo con el anteúltimo y así siguiendo.
III) Usando el principio de inducción

2- Deducí del ejercicio 1 que, para todo número natural n vale que: 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1).

3- Probá que, para todo número natural, 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n2.

I) Contando de dos maneras la cantidad total de cuadraditos del diagrama

II) Usando el ejercicio 1.
III) Usando el principio de inducción.

4- Demostrá que la cantidad de subconjuntos de un conjunto de n elementos es 2n. Notá que así también podés probar el ítem 2 de la primera actividad ¿cómo lo harías?

Cierre

Proponer que cada grupo elija una de las tres partes del ejercicio 1 y 3, o bien el ejercicio 2, y que pasen a explicar al resto del aula como lo resolvieron, fomentando la discusión sobre las formas en que lo hicieron y los procesos que atravesaron para hacerlo.

Actividad 3

Proponemos ahora una actividad que parece hablar de las limitaciones de la inducción ¿es realmente así o hay algo mal en el razonamiento?

El problema es el siguiente, supongamos que quisiéramos demostrar que todos los caballos son del mismo color. Una buena técnica podría ser la inducción matemática. Intentaremos probar que todos los caballos son del mismo color probando que en todo conjunto de n caballos todos los caballos son del mismo color.

1- En un conjunto de un solo caballo todos tienen el mismo color.

2- Supongamos ahora que en un conjunto de n caballos todos son del mismo color y veamos qué pasa en un conjunto de n+1 caballos. Pongamos los  n+1 caballos en una fila, quitemos el primero, como en todos los conjuntos de n caballos, éstos son todos del mismo color resulta que estos últimos n caballos son del mismo color. Ahora, si quitamos el último caballo en vez del primero, también obtenemos un conjunto de n caballos y por ende todos son del mismo color, pero entonces por un lado tenemos que el segundo caballo es del mismo color que el último y, por el otro que el color del primero es igual al del segundo. Pero entonces el primero y el último también son del mismo color y, por lo tanto los  n+1 son todos del mismo color.

Estrategias de trabajo

Contar a los alumnos esta supuesta paradoja de la inducción y proponer una discusión sobre el mismo. ¿Es cierto que el principio de inducción falla en este caso?, si no ¿Qué está mal en el razonamiento?

Cierre

Discutir sobre esta supuesta paradoja e intentar hallar la falla del razonamiento. ¿Falla el principio de inducción o hay algo que hemos hecho mal cuando lo usamos?, ¿Qué fue?

Cierre de todas las actividades

Discutir sobre la potencia de este método para demostrar cosas sobre los números naturales y notar que las cosas que probamos con el método pueden ser bien diferentes unas de otras, formulas, desigualdades y  muchas otras más.  Tomar nota de lo discutido y elaborar un breve informe.

Encuentro Descargas
Capítulo 8: Inducción, recorriendo todo en dos pasos

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